{"id":337,"date":"2026-05-08T02:33:30","date_gmt":"2026-05-07T17:33:30","guid":{"rendered":"https:\/\/wuhanqing.cn\/wordpress\/?p=337"},"modified":"2026-05-08T02:34:17","modified_gmt":"2026-05-07T17:34:17","slug":"versuchsbericht-bestimmung-des-traegheitsmoments-und-erhaltung-des-drehimpulses","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wuhanqing.cn\/wordpress\/de\/2026\/05\/08\/versuchsbericht-bestimmung-des-traegheitsmoments-und-erhaltung-des-drehimpulses\/","title":{"rendered":"[Versuchsbericht] Bestimmung des Tr\u00e4gheitsmoments und Erhaltung des Drehimpulses"},"content":{"rendered":"

# 1. Versuchstitel<\/p>\n

Das Thema dieses Experiments ist **Messung des Tr\u00e4gheitsmoments und Erhaltung des Drehimpulses**.<\/p>\n

# 2. Versuchsziel<\/p>\n

Durch Messung der Winkelbeschleunigung eines rotierenden starren K\u00f6rpers (Rigid Body) soll das **Tr\u00e4gheitsmoment (Moment of Inertia)** des K\u00f6rpers experimentell bestimmt werden. Durch den Vergleich des experimentell erhaltenen Wertes mit dem theoretisch aus der geometrischen Struktur berechneten Wert sollen die dynamischen Prinzipien der Rotationsbewegung verstanden werden. Au\u00dferdem soll experimentell best\u00e4tigt werden, dass der **Drehimpuls (Angular Momentum)** erhalten bleibt, wenn kein \u00e4u\u00dferes Drehmoment auf das rotierende System wirkt, und die dabei auftretenden Energie\u00e4nderungen sollen betrachtet werden.<\/p>\n

# 3. Relevante Theorie<\/p>\n

## 3.1 Tr\u00e4gheitsmoment (Moment of Inertia)<\/p>\n

Die physikalische Gr\u00f6\u00dfe, die in der Rotationsbewegung der Masse in der geradlinigen Bewegung entspricht und die St\u00e4rke der Neigung eines K\u00f6rpers beschreibt, seinen Rotationszustand beizubehalten. F\u00fcr Partikel der Masse $m_i$, die einen Abstand $r_i$ zur Rotationsachse haben, ist das Tr\u00e4gheitsmoment $I$ definiert als<\/p>\n

$$I = \\sum m_i r_i^2$$<\/p>\n

F\u00fcr einen starren K\u00f6rper mit kontinuierlicher Massenverteilung wird es durch Integration \u00fcber ein infinitesimales Massenelement $dm$ bestimmt:<\/p>\n

$$I = \\int r^2 dm$$<\/p>\n

### 3.1.1 Herleitung der Tr\u00e4gheitsmomente f\u00fcr Scheibe (Disk) und Ring (Ring)<\/p>\n

#### 3.1.1.1 Gleichm\u00e4\u00dfige Scheibe (Solid Disk)<\/p>\n

Betrachte eine gleichm\u00e4\u00dfig verteilte Scheibe mit dem Radius $R$ und der Gesamtmasse $M$ und bestimme ihr Tr\u00e4gheitsmoment bez\u00fcglich der Zentralachse. Die Fl\u00e4chendichte der Scheibe ist $\\sigma = \\frac{M}{\\pi R^2}$.<\/p>\n

F\u00fcr einen infinitesimalen Ring mit Radius $r$ und Dicke $dr$ ist die Fl\u00e4chendifferenz $dA = 2\\pi r dr$ und damit die infinitesimale Masse $dm = \\sigma dA = \\frac{M}{\\pi R^2} \\cdot 2\\pi r dr$.<\/p>\n

$$I_{disk} = \\int_0^R r^2 dm = \\int_0^R r^2 \\left( \\frac{2Mr}{R^2} \\right) dr = \\frac{2M}{R^2} \\int_0^R r^3 dr$$<\/p>\n

$$I_{disk} = \\frac{2M}{R^2} \\left[ \\frac{r^4}{4} \\right]_0^R = \\frac{2M}{R^2} \\cdot \\frac{R^4}{4} = \\frac{1}{2}MR^2$$<\/p>\n

#### 3.1.1.2 Dicker Ring (Thick Ring)<\/p>\n

F\u00fcr einen Ring mit Innenradius $R_1$, Au\u00dfenradius $R_2$ und Masse $M$ gilt die Fl\u00e4chendichte $\\sigma = \\frac{M}{\\pi(R_2^2 - R_1^2)}$.<\/p>\n

$$I_{ring} = \\int_{R_1}^{R_2} r^2 \\left( \\frac{2Mr}{R_2^2 - R_1^2} \\right) dr = \\frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \\left[ \\frac{r^4}{4} \\right]_{R_1}^{R_2}$$<\/p>\n

$$I_{ring} = \\frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \\cdot \\frac{R_2^4 - R_1^4}{4} = \\frac{M}{2(R_2^2 - R_1^2)}(R_2^2 - R_1^2)(R_2^2 + R_1^2)$$<\/p>\n

$$I_{ring} = \\frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$$<\/p>\n

## 3.2 Herleitung der Beziehung zwischen Drehimpuls und Drehmoment (rotierende Form von Newtons 2. Gesetz)<\/p>\n

Um Rotationsbewegungen dynamisch zu analysieren, wandelt man Newtons zweites Gesetz ($F = ma$) in die entsprechende Rotationsform um.<\/p>\n

F\u00fcr ein einzelnes Teilchen der Masse $m$ gilt die differentialle Form von Newtons zweitem Gesetz als zeitliche \u00c4nderungsrate des Impulses ($p = mv$):<\/p>\n

$$F = \\frac{dp}{dt} = m\\frac{dv}{dt}$$<\/p>\n

Ist der Ort des Teilchens durch den Ortsvektor $r$ vom Ursprung gegeben, so ist das auf das Teilchen wirkende Drehmoment $\\tau$ als Kreuzprodukt des Ortsvektors mit der Kraft definiert:<\/p>\n

$$\\tau = r \\times F$$<\/p>\n

Setzt man die differentialle Form von Newtons Gesetz f\u00fcr $F$ ein, erh\u00e4lt man:<\/p>\n

$$\\tau = r \\times \\frac{dp}{dt} \\tag{1}$$<\/p>\n

Der Drehimpuls $L$ des Teilchens ist definiert als Kreuzprodukt von Ortsvektor und linearer Impuls:<\/p>\n

$$L = r \\times p$$<\/p>\n

Die zeitliche Ableitung dieses Drehimpulses ergibt sich mit der Produktregel zu:<\/p>\n

$$\\frac{dL}{dt} = \\frac{d}{dt}(r \\times p) = \\left( \\frac{dr}{dt} \\times p \\right) + \\left( r \\times \\frac{dp}{dt} \\right)$$<\/p>\n

Da $\\frac{dr}{dt}$ die Geschwindigkeit $v$ ist und $p = mv$ gilt, ist das Kreuzprodukt von $v$ mit $mv$ Null ($v \\times mv = 0$), sodass der erste Term verschwindet und nur der zweite Term \u00fcbrig bleibt:<\/p>\n

$$\\frac{dL}{dt} = r \\times \\frac{dp}{dt} \\tag{2}$$<\/p>\n

Durch den Vergleich von (1) und (2) erh\u00e4lt man die fundamentale Beziehung zwischen Drehmoment und Drehimpuls: das resultierende Drehmoment entspricht der zeitlichen \u00c4nderungsrate des Drehimpulses.<\/p>\n

$$\\tau = \\frac{dL}{dt} \\tag{3}$$<\/p>\n

Erweitert man diese Beziehung auf einen starren K\u00f6rper, der um eine feste Achse rotiert, und benutzt die Beziehung $v = r\\omega$ f\u00fcr die Teilchengeschwindigkeit bei Winkelgeschwindigkeit $\\omega$, so folgt f\u00fcr den einzelnen Beitrag zum Drehimpuls $L = mr^2\\omega$. Da $mr^2$ den Beitrag zum Tr\u00e4gheitsmoment $I$ darstellt, gilt $L = I\\omega$. Differenziert man dies zeitlich und setzt in (3) ein, erh\u00e4lt man:<\/p>\n

$$\\tau = \\frac{d}{dt}(I\\omega) = I\\frac{d\\omega}{dt} = I\\alpha \\tag{4}$$<\/p>\n

Damit erh\u00e4lt man die Rotationsform des Bewegungsprinzips, die dem translationalen $F = m\\frac{dv}{dt}$ entspricht:<\/p>\n

$$\\tau = r \\times F = I\\alpha = \\frac{dL}{dt}$$<\/p>\n

Diese Gleichung ist die zentrale mathematische Grundlage in diesem Experiment, um das Tr\u00e4gheitsmoment $I$ aus der gemessenen Winkelbeschleunigung $\\alpha$ von Scheiben und Ringen zu bestimmen.<\/p>\n

## 3.3 Rotationskinetische Energie (Rotational Kinetic Energy) und Herleitung<\/p>\n

Analog zur kinetischen Energie in der Translation, die von Masse und Geschwindigkeit abh\u00e4ngt, wird die kinetische Energie eines starren K\u00f6rpers, der um eine feste Achse rotiert, durch das Tr\u00e4gheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit bestimmt. Diese Rotationskinetik l\u00e4sst sich durch Anwendung der translativen kinetischen Energie auf jedes infinitesimale Masseelement des rotierenden K\u00f6rpers herleiten.<\/p>\n

### 3.3.1 Herleitungsprozess<\/p>\n

Betrachte einen starren K\u00f6rper, der mit Winkelgeschwindigkeit $\\omega$ um eine feste Achse rotiert. Der K\u00f6rper l\u00e4sst sich als Ansammlung vieler kleiner Teilchen betrachten.<\/p>\n

F\u00fcr das $i$-te Teilchen der Masse $m_i$ im Abstand $r_i$ von der Rotationsachse gilt die Tangentialgeschwindigkeit<\/p>\n

$$v_i = r_i \\omega$$<\/p>\n

Die translatale kinetische Energie dieses Teilchens ist<\/p>\n

$$K_i = \\frac{1}{2}m_i v_i^2$$<\/p>\n

Setzt man $v_i = r_i \\omega$ ein, erh\u00e4lt man<\/p>\n

$$K_i = \\frac{1}{2}m_i (r_i \\omega)^2 = \\frac{1}{2} m_i r_i^2 \\omega^2$$<\/p>\n

Die gesamte Rotationskinetik des K\u00f6rpers ist die Summe \u00fcber alle Teilchen. Da alle Teilchen dieselbe Winkelgeschwindigkeit $\\omega$ teilen, kann $\\omega^2$ aus der Summe herausgezogen werden:<\/p>\n

$$K_{rot} = \\sum_{i} K_i = \\sum_{i} \\left( \\frac{1}{2} m_i r_i^2 \\omega^2 \\right)$$<\/p>\n

$$K_{rot} = \\frac{1}{2} \\left( \\sum_{i} m_i r_i^2 \\right) \\omega^2$$<\/p>\n

Der Ausdruck in Klammern ist das Tr\u00e4gheitsmoment $I$ aus Abschnitt 3.1, daher:<\/p>\n

$$K_{rot} = \\frac{1}{2}I\\omega^2$$<\/p>\n

Dies ist das direkte Gegenst\u00fcck zur translativen kinetischen Energie $K = \\frac{1}{2}mv^2$, wobei in der Rotation die Rolle der Masse $m$ vom Tr\u00e4gheitsmoment $I$ \u00fcbernommen wird und die lineare Geschwindigkeit $v$ durch die Winkelgeschwindigkeit $\\omega$ ersetzt wird.<\/p>\n

### 3.3.2 Physikalische Bedeutung im vorliegenden Experiment<\/p>\n

Im Experiment B (Erhaltung des Drehimpulses) ist das Herunterfallen eines Masserings auf eine rotierende Scheibe mechanisch \u00e4quivalent zu einem vollkommen inelastischen Sto\u00df: der Drehimpuls $L$ bleibt erhalten, da kein \u00e4u\u00dferes Drehmoment wirkt, aber aufgrund interner Reibung gehen kinetische Energieanteile in W\u00e4rme \u00fcber, sodass sich die beiden K\u00f6rper schlie\u00dflich mit derselben Winkelgeschwindigkeit drehen. Mittels obiger Formeln l\u00e4sst sich die Rotationsenergie vor und nach dem Sto\u00df berechnen und zeigen, dass $\\Delta K_{rot} < 0$ gelten kann.\n\n## 3.4 Erhaltungssatz des Drehimpulses (Conservation of Angular Momentum)\n\nIst das resultierende \u00e4u\u00dfere Drehmoment Null ($\\tau_{ext} = 0$), so bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant:\n\n$$\\frac{dL}{dt} = 0 \\implies L = I_i \\omega_i = I_f \\omega_f = \\text{Constant}$$\n\nIn diesem Experiment wird dies \u00fcberpr\u00fcft, indem ein Massering auf die rotierende Scheibe fallen gelassen wird und dadurch das Tr\u00e4gheitsmoment $I_i \\to I_f$ ver\u00e4ndert wird und die Winkelgeschwindigkeit von $\\omega_i \\to \\omega_f$ wechselt.\n\n## 3.5 Experimentelle Messmethode f\u00fcr das Tr\u00e4gheitsmoment und Herleitung der Formel\n\nIn diesem Experiment wird ein Faden um eine Achse (Radius $r$) gewickelt und an dessen Ende eine Masse $m$ aufgeh\u00e4ngt, die frei fallen gelassen wird. Beim Fallen beschleunigt die Masse unter Gravitation und zieht am Faden, wodurch eine Spannung $T$ entsteht, die ein Drehmoment am Achsenradius $r$ erzeugt und das Gesamtsystem in Rotation versetzt. Die mechanischen Gleichungen lauten:\n\n### 3.5.1 Translationsgleichung f\u00fcr die h\u00e4ngende Masse\n\nDie auf die fallende Masse $m$ wirkenden Kr\u00e4fte sind die Schwerkraft $mg$ nach unten und die Fadenspannung $T$ nach oben. Mit positiver Richtung nach unten ergibt Newtons zweites Gesetz f\u00fcr die lineare Beschleunigung $a$:\n\n$$mg - T = ma \\tag{1}$$\n\n### 3.5.2 Rotationsgleichung des starren K\u00f6rpers\n\nDie Fadenspannung $T$ wirkt tangential am Achsenradius $r$ und erzeugt ein Drehmoment $\\tau$. F\u00fcr das Gesamtsystem mit Tr\u00e4gheitsmoment $I$ und Winkelbeschleunigung $\\alpha$ gilt:\n\n$$\\tau = r \\times T = rT = I\\alpha \\tag{2}$$\n\n(Die Wirkungslinie der Spannung steht senkrecht zum Radius, daher $\\sin 90^\\circ = 1$.)\n\n### 3.5.3 Kinematische Verbindung zwischen linearer und Winkelbeschleunigung\n\nUnter der Annahme, dass der Faden nicht rutscht oder sich dehnt, gilt die Verbindung\n\n$$a = r\\alpha \\tag{3}$$\n\n### 3.5.4 Algebraische Herleitung der Messformel\n\nSetzt man (3) in (1) ein und l\u00f6st nach $T$ auf, erh\u00e4lt man:\n\n$$mg - T = m(r\\alpha)$$\n\n$$T = m(g - r\\alpha) \\tag{4}$$\n\nEinsetzen in (2) liefert:\n\n$$r \\cdot \\left[ m(g - r\\alpha) \\right] = I\\alpha$$\n\nAusmultipliziert ergibt sich:\n\n$$mgr - mr^2\\alpha = I\\alpha$$\n\nTeilt man beide Seiten durch $\\alpha$ und l\u00f6st nach $I$ auf, folgt:\n\n$$I = \\frac{mgr - mr^2\\alpha}{\\alpha} = \\frac{mgr}{\\alpha} - mr^2$$\n\nFaktorisierung ergibt die experimentelle Formel:\n\n$$I = mr^2 \\left( \\frac{g}{r\\alpha} - 1 \\right)$$\n\nMit dieser Formel l\u00e4sst sich das Tr\u00e4gheitsmoment $I$ experimentell bestimmen, indem die geometrischen Konstanten (h\u00e4ngende Masse $m$, Achsenradius $r$), die Erdbeschleunigung $g$ und die aus SPARKvue durch lineare Regression ermittelte Winkelbeschleunigung $\\alpha$ eingesetzt werden.\n\n# 4. Versuchsaufbau und -durchf\u00fchrung\n\nDer Versuch gliedert sich in zwei Hauptteile: In **Experiment A** wird mittels fallender Masse das Tr\u00e4gheitsmoment der Scheibe und des Rings gemessen; in **Experiment B** wird ein Ring auf eine rotierende Scheibe fallen gelassen, um die Erhaltung des Drehimpulses zu pr\u00fcfen.\n\n## 4.1 Experiment A: Messung des Tr\u00e4gheitsmoments (Measurement of Moment of Inertia)\n\n\"null\"<\/p>\n

1. **Aufbau der Rotationsvorrichtung**: Montiere den Rotationsst\u00e4nder wie in [Abbildung 3] gezeigt und befestige die Scheibe (Rotational Disk) an der Achse. Verwende eine Wasserwaage (Leveler), um St\u00e4nder und Scheibe exakt horizontal auszurichten.<\/p>\n

2. **Einstellung des Smart Gate**: Befestige das Smart Gate am Rotationsst\u00e4nder und justiere seine Position so, dass der Sensor genau die Nut (Spoke) der am Achsstumpf befestigten Rolle (Pulley) erfasst.<\/p>\n

3. **Messung der Grundgr\u00f6\u00dfen**: Messe die Gesamtmasse des h\u00e4ngenden Gewichts und des H\u00e4ngers $m$ mit einer elektronischen Waage und bestimme den Achsenradius $r$, um den der Faden gewickelt wird, mit einer Messschieblehre (Vernier Calipers) pr\u00e4zise.<\/p>\n

4. **Softwarevorbereitung**: Starte die SPARKvue-App und w\u00e4hle **[Smart Gate Only]** -> [Smart Pulley (Rotational)]. Setze den **Spoke Angle** auf $36^\\circ$ (oder den zum Ger\u00e4t passenden Wert) und w\u00e4hle **Velocity** und **Acceleration** als zu messende Gr\u00f6\u00dfen.<\/p>\n

5. **Messung der Winkelbeschleunigung der Scheibe**: Wickel den Faden um die Achse, lasse die h\u00e4ngende Masse fallen und messe die Winkelgeschwindigkeit w\u00e4hrend des Falls. W\u00e4hle im Datendiagramm ein Intervall, in dem die Winkelbeschleunigung $\\alpha$ ann\u00e4hernd konstant ist, und f\u00fchre eine lineare Regression durch, um die Steigung zu erhalten.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

6. **Wiederholungsmessungen**: Wiederhole Schritt 5 insgesamt f\u00fcnfmal, ermittle die durchschnittliche Winkelbeschleunigung der Scheibe und berechne daraus $I_{disk}$.<\/p>\n

7. **Zugabe des Rings (Mass Ring)**: Lege den Ring auf die Scheibe und wiederhole die Schritte 5\u20136. Der gemessene Wert entspricht dem kombinierten Tr\u00e4gheitsmoment $I_{total$}, von dem das zuvor bestimmte $I_{disk}$ subtrahiert wird, um das experimentelle $I_{ring}$ zu erhalten.<\/p>\n

## 4.2 Experiment B: Erhaltung des Drehimpulses (Conservation of Angular Momentum)<\/p>\n

1. **Umkonfiguration der Vorrichtung**: Entferne den Faden und die h\u00e4ngende Masse aus Experiment A, sodass das System frei und ohne \u00e4u\u00dferes Drehmoment rotieren kann.<\/p>\n

2. **Anfangsrotation und Start der Messung**: Bringe die Scheibe per Hand in Rotation und starte die Messung in SPARKvue.<\/p>\n

3. **Messung der Anfangs-Winkelgeschwindigkeit ($\\omega_1$)**: Notiere die Winkelgeschwindigkeit $\\omega_1$ unmittelbar bevor der Ring fallengelassen wird.<\/p>\n

4. **Abwurf des Rings**: Lasse den Ring vorsichtig auf die rotierende Scheibe fallen und achte darauf, dass er korrekt im Zentrum sitzt.<\/p>\n

5. **Messung der sp\u00e4teren Winkelgeschwindigkeit ($\\omega_2$)**: Nachdem der Ring auf der Scheibe sitzt und die Rotation stabilisiert ist, messe die stabile Winkelgeschwindigkeit $\\omega_2$.<\/p>\n

6. **Datenanalyse**: Berechne mit den gemessenen Werten $\\omega_1, \\omega_2$ und den in Experiment A bestimmten $I_{disk}, I_{total}$ die Drehimpulse $L_1, L_2$ vor und nach dem Sto\u00df und \u00fcberpr\u00fcfe die Erhaltung.<\/p>\n

7. **Wiederholung**: Wiederhole Schritte 2\u20136 f\u00fcnfmal zur Verbesserung der Datenzuverl\u00e4ssigkeit.<\/p>\n

# 5. Versuchsergebnisse<\/p>\n

## 5.1 Versuchsgr\u00f6\u00dfen und Konstanten (Constants)<\/p>\n

Die in den Berechnungen von Experiment A und B verwendeten geometrischen Konstanten und gemessenen Massen lauten:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Parameter<\/strong><\/th>\nSymbol<\/strong><\/th>\nWert<\/strong><\/th>\nEinheit<\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
H\u00e4ngende Masse<\/strong><\/td>\n$m$<\/td>\n0.145<\/td>\n$\\text{kg}$<\/td>\n<\/tr>\n
Achsenradius<\/strong><\/td>\n$r$<\/td>\n0.0115<\/td>\n$\\text{m}$<\/td>\n<\/tr>\n
Scheibenmasse<\/strong><\/td>\n$M_{disk}$<\/td>\n1.427<\/td>\n$\\text{kg}$<\/td>\n<\/tr>\n
Scheibenradius<\/strong><\/td>\n$R_{disk}$<\/td>\n0.1145<\/td>\n$\\text{m}$<\/td>\n<\/tr>\n
Ringmasse<\/strong><\/td>\n$M_{ring}$<\/td>\n1.441<\/td>\n$\\text{kg}$<\/td>\n<\/tr>\n
Ring Innenradius<\/strong><\/td>\n$R_1$<\/td>\n0.054<\/td>\n$\\text{m}$<\/td>\n<\/tr>\n
Ring Au\u00dfenradius<\/strong><\/td>\n$R_2$<\/td>\n0.0635<\/td>\n$\\text{m}$<\/td>\n<\/tr>\n
Erdbeschleunigung<\/strong><\/td>\n$g$<\/td>\n9.8<\/td>\n$\\text{m\/s}^2$<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

## 5.2 Experiment A: Messung des Tr\u00e4gheitsmoments (Rotational Inertia)<\/p>\n

### 5.2.1 Messdaten und Berechnungen<\/p>\n

F\u00fcr die Scheibe allein und f\u00fcr Scheibe + Ring wurden jeweils f\u00fcnf Versuche mit fallender Masse durchgef\u00fchrt und die Winkelbeschleunigung $\\alpha$ gemessen. Das experimentelle Tr\u00e4gheitsmoment wurde mit der Formel $I = mr^2 (\\frac{g}{r\\alpha} - 1)$ berechnet. Das Tr\u00e4gheitsmoment des Rings allein wurde aus der Differenz von Gesamttr\u00e4gheitsmoment und Scheibentr\u00e4gheitsmoment bestimmt ($I_{ring} = I_{total} - I_{disk}$).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Versuch (Trial)<\/strong><\/th>\nScheibe $\\alpha$ (rad\/s^2)<\/strong><\/th>\nScheibe $I_{disk}$ (kg \\cdot m^2)<\/strong><\/th>\nScheibe+Ring $\\alpha$ (rad\/s^2)<\/strong><\/th>\nGesamt $I_{total}$ (kg \\cdot m^2)<\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Trial 1<\/strong><\/td>\n1.860<\/td>\n0.008767<\/td>\n1.210<\/td>\n0.013486<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 2<\/strong><\/td>\n1.850<\/td>\n0.008814<\/td>\n1.210<\/td>\n0.013486<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 3<\/strong><\/td>\n1.850<\/td>\n0.008814<\/td>\n1.220<\/td>\n0.013375<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 4<\/strong><\/td>\n1.850<\/td>\n0.008814<\/td>\n1.210<\/td>\n0.013486<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 5<\/strong><\/td>\n1.850<\/td>\n0.008767<\/td>\n1.210<\/td>\n0.013486<\/td>\n<\/tr>\n
DURCHSCHNITT (AVERAGE)<\/strong><\/td>\n1.8525<\/strong><\/td>\n0.008795<\/strong><\/td>\n1.2120<\/strong><\/td>\n0.013464<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

### 5.2.2 Fehleranalyse (Error Analysis Summary)<\/p>\n

Die theoretischen Tr\u00e4gheitsmomente f\u00fcr Scheibe und Ring wurden jeweils mit den Formeln $I_{disk} = \\frac{1}{2}MR^2$ und $I_{ring} = \\frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$ berechnet und mit den experimentellen Mittelwerten verglichen.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
Eintrag (Item)<\/strong><\/th>\nExperimentell $I_{exp}$ (kg \\cdot m^2)<\/strong><\/th>\nTheoretisch $I_{theo}$ (kg \\cdot m^2)<\/strong><\/th>\nRelative Abweichung (\\%)<\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Nur Scheibe (Disk Only)<\/strong><\/td>\n0.008795<\/td>\n0.009354<\/td>\n5.977<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
Ring (Mass Ring)<\/strong><\/td>\n0.004669<\/td>\n0.005006<\/td>\n6.736<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

_\u203b Der experimentelle Wert f\u00fcr den Ring $I_{ring}$ wurde als (durchschnittliches Gesamttr\u00e4gheitsmoment 0.013464) - (durchschnittliches Scheiben-Tr\u00e4gheitsmoment 0.008795) = 0.004669 berechnet._<\/p>\n

## 5.3 Experiment B: Erhaltung des Drehimpulses (Conservation of Angular Momentum)<\/p>\n

Das Experiment des vollkommen inelastischen Sto\u00dfes, bei dem ein Ring auf eine rotierende Scheibe fallen gelassen wird, wurde f\u00fcnfmal wiederholt. Der Anfangsdrehimpuls vor dem Sto\u00df $L_1 = I_{disk} \\cdot \\omega_1$ und der sp\u00e4tere Drehimpuls nach dem Sto\u00df $L_2 = I_{total} \\cdot \\omega_2$ wurden berechnet und verglichen.<\/p>\n

_(Hinweis: Die in den Drehimpulsberechnungen verwendeten Tr\u00e4gheitsmomente $I$ sind die experimentellen Mittelwerte aus Experiment A.)_<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Versuch (Trial)<\/strong><\/th>\nAnfang $\\omega_1$ (rad\/s)<\/strong><\/th>\nSp\u00e4ter $\\omega_2$ (rad\/s)<\/strong><\/th>\nAnfang $L_1$ (kg \\cdot m^2\/s)<\/strong><\/th>\nSp\u00e4ter $L_2$ (kg \\cdot m^2\/s)<\/strong><\/th>\nAbweichung (\\%)<\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Trial 1<\/strong><\/td>\n8.730<\/td>\n5.620<\/td>\n0.076781<\/td>\n0.075668<\/td>\n1.450<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 2<\/strong><\/td>\n12.200<\/td>\n7.920<\/td>\n0.107300<\/td>\n0.106635<\/td>\n0.619<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 3<\/strong><\/td>\n13.900<\/td>\n9.120<\/td>\n0.122251<\/td>\n0.122792<\/td>\n0.442<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 4<\/strong><\/td>\n14.700<\/td>\n9.460<\/td>\n0.129288<\/td>\n0.127370<\/td>\n1.483<\/td>\n<\/tr>\n
Trial 5<\/strong><\/td>\n15.500<\/td>\n10.400<\/td>\n0.136324<\/td>\n0.140026<\/td>\n2.716<\/td>\n<\/tr>\n
DURCHSCHNITT (AVERAGE)<\/strong><\/td>\n13.006<\/strong><\/td>\n8.504<\/strong><\/td>\n0.114389<\/strong><\/td>\n0.114498<\/strong><\/td>\n1.342<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

_\u203b Formel zur Berechnung der Abweichung: $\\delta = \\frac{\\|L_1 - L_2\\|}{L_1} \\times 100 \\%$_<\/p>\n

# 6. Analyse und Diskussion<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

F\u00fcr die Analyse wurden Python-basierte Datenanalyse- und Visualisierungsalgorithmen verwendet, um die gemessenen Werte und die theoretischen Werte aus Experiment A (Tr\u00e4gheitsmomentmessung) und Experiment B (Drehimpulserhaltung) quantitativ und visuell zu vergleichen. Absolute Vergleiche physikalischer Gr\u00f6\u00dfen (Balkendiagramme) und die Entwicklung der relativen Fehler (Liniendiagramme) wurden in einem Dual-Axis-Kombinationsdiagramm implementiert, um die Datenzuverl\u00e4ssigkeit und systematische Fehler anschaulich zu analysieren.<\/p>\n

Die relativen Fehler zwischen experimentellem Tr\u00e4gheitsmoment $I_{exp}$ und theoretischem Wert $I_{theo}$ sowie der Fehler des Drehimpulses vor und nach dem Sto\u00df $\\delta_L$ wurden wie folgt definiert und in der Analyse verwendet:<\/p>\n

$$\\delta_I(\\%) = \\frac{|I_{exp} - I_{theo}|}{I_{theo}} \\times 100\\%, \\qquad \\delta_L(\\%) = \\frac{|L_1 - L_2|}{L_1} \\times 100\\%$$<\/p>\n

## 6.1 Experiment A: Pr\u00e4ziser Vergleich des Tr\u00e4gheitsmoments der Scheibe (Disk Only)<\/p>\n

Das erste Diagramm vergleicht die in f\u00fcnf Versuchen gemessenen experimentellen Tr\u00e4gheitsmomente der reinen Scheibe mit dem aus den geometrischen Parametern berechneten theoretischen Wert.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Die Analyse zeigt, dass die gemessenen experimentellen Werte (blaue Balken) in allen f\u00fcnf Versuchen geringf\u00fcgig unter den theoretischen Werten (orangefarbene Balken) liegen. Die durch die rote gestrichelte Linie dargestellte relative Abweichung liegt konsistent bei etwa **5.97%**.<\/p>\n

Die sehr geringe Streuung der Daten deutet darauf hin, dass das Fallverfahren des Experimentators, die Messung der Winkelbeschleunigung $\\alpha$ mit SPARKvue und die lineare Regression sehr pr\u00e4zise durchgef\u00fchrt wurden. Die etwa 6% Abweichung ist daher eher als systematischer Fehler des Versuchsaufbaus denn als zuf\u00e4lliges Rauschen zu interpretieren.<\/p>\n

## 6.2 Experiment A: Pr\u00e4ziser Vergleich des Tr\u00e4gheitsmoments des Rings (Mass Ring)<\/p>\n

Das zweite Diagramm vergleicht den experimentell bestimmten Tr\u00e4gheitsmomentwert des Rings (aus $I_{total} - I_{disk}$) mit dem theoretischen Wert.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Die relative Abweichung des Rings betr\u00e4gt ebenfalls etwa **6.73%**, was dem Trend aus dem Scheibenversuch entspricht und eine stabile Fehlergr\u00f6\u00dfe aufweist. Die um etwa 6% zu kleinen experimentellen Werte ($I_{exp} < I_{theo}$) lassen sich im Wesentlichen durch zwei Ursachen erkl\u00e4ren:\n\n1. **Erh\u00f6hung des effektiven Radius durch Fadendicke:**\n\nIn der Versuchsgleichung $I = mr^2 (\\frac{g}{r\\alpha} - 1)$ beeinflusst der Achsenradius $r$ das Ergebnis quadratisch. Der verwendete Wert $r = 0.0115\\,\\text{m}$ entspricht dem nackten Achsendurchmesser ohne aufgewickelten Faden. Tats\u00e4chlich ist der effektive Radius, an dem das Drehmoment wirkt, aufgrund der Fadendicke und \u00dcberlappungen leicht gr\u00f6\u00dfer (etwa $r_{eff} = r + r_{string}\/2$). Die Verwendung eines zu kleinen $r$ in der Formel f\u00fchrt zu zu kleinen experimentellen Tr\u00e4gheitsmomenten.\n\n2. **Limitationen der Annahme einer idealen Massenverteilung:**\n\nFormeln wie $0.5MR^2$ setzen eine perfekt gleichm\u00e4\u00dfige Massenverteilung voraus. Reale Scheiben und Ringe besitzen Befestigungsbohrungen, Nuten oder Materialunregelm\u00e4\u00dfigkeiten, die zu Abweichungen vom idealen Modell f\u00fchren.\n\n## 6.3 Experiment B: Zusammenfassende Analyse der Drehimpulserhaltung (Conservation of Angular Momentum)\n\nDas dritte Diagramm zeigt die \u00c4nderung des Drehimpulses ($L_1$, $L_2$) vor und nach dem vollkommen inelastischen Sto\u00df, wenn ein Ring auf eine rotierende Scheibe fallen gelassen wird.\n\n\"\"<\/p>\n

Dies ist der H\u00f6hepunkt des Experiments: In allen f\u00fcnf Versuchen stimmen die anf\u00e4nglichen Drehimpulse $L_1$ und die sp\u00e4teren Drehimpulse $L_2$ nahezu \u00fcberein. Die auf der rechten Achse dargestellte Fehlerkurve variiert zwischen 0.44% und 2.71% und weist einen beeindruckenden Mittelwert von **1.34%** auf.<\/p>\n

Dies zeigt numerisch, dass trotz des starken Abfalls der Winkelgeschwindigkeit von $\\omega_1$ auf $\\omega_2$ der Anstieg des Tr\u00e4gheitsmoments ($I_{disk} \\to I_{total}$) dies ausgleicht, sodass die Beziehung $I_{disk}\\omega_1 = I_{total}\\omega_2$ innerhalb der Messgenauigkeit erf\u00fcllt ist.<\/p>\n

Geringf\u00fcgige Restabweichungen (ca. 1.3%) k\u00f6nnen verursacht werden durch:<\/p>\n

- **Reibungsmomente (Frictional Torque):** W\u00e4hrend der kurzen Phase, in der der Ring auf der Scheibe sitzt und die Geschwindigkeit sich auf $\\omega_2$ stabilisiert, wirken Lagerreibung und Luftwiderstand als negative Momente und reduzieren den Drehimpuls geringf\u00fcgig.<\/p>\n

- **Unzentrierter Aufprall beim Abwurf:** Wird der Ring nicht genau zentriert abgeworfen, kann ein Versatz $d$ zur Anwendung des Parallelachsen-Theorems ($I = I_{cm} + Md^2$) f\u00fchren und das effektive Tr\u00e4gheitsmoment vergr\u00f6\u00dfern, was zu kleinen Abweichungen in der Winkelgeschwindigkeit f\u00fchrt.<\/p>\n

## 6.4 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen<\/p>\n

Aus dem Experiment ergeben sich folgende Feststellungen:<\/p>\n

1. Die Masse und die geometrische Verteilung (Radius) eines starren K\u00f6rpers bestimmen sein Tr\u00e4gheitsmoment; dies wurde quantitativ durch die experimentelle Formel $I = mr^2 (\\frac{g}{r\\alpha} - 1)$ best\u00e4tigt (Fehlerbereich ca. 5\u20136%).<\/p>\n

2. In einem isolierten System ohne \u00e4u\u00dferes resultierendes Drehmoment bleibt der Gesamt-Drehimpuls erhalten, auch wenn sich die Massenverteilung durch das Aufbringen des Rings \u00e4ndert; dies wurde mit einem mittleren Fehler von **1.34%** nachgewiesen.<\/p>\n

3. Bei der Datenanalyse wurde ein kritischer Bedienerfehler entdeckt und korrigiert: anfangs wurde f\u00e4lschlicherweise der Durchmesser der Achse anstelle des Radius verwendet, was zu Fehlern >80% f\u00fchrte. Dies unterstreicht die Wichtigkeit sorgf\u00e4ltiger Daten\u00fcberpr\u00fcfung und die hohe Sensitivit\u00e4t quadrierter Terme wie $r$.<\/p>\n

## 6.5 Python-Quellcode (Datenvisualisierungs-Algorithmus)<\/p>\n

Die wichtigste Visualisierungsfunktion zur Erstellung von Dual-Axis-Kombinationsdiagrammen, die in diesem Bericht verwendet wurde, lautet:<\/p>\n

import csv\r\nimport matplotlib.pyplot as plt\r\nimport numpy as np\r\nimport os\r\n\r\nplt.rcParams['font.family'] = 'serif'\r\nplt.rcParams['font.serif'] = ['Times New Roman', 'DejaVu Serif']\r\nplt.rcParams['mathtext.fontset'] = 'stix' \r\nplt.rcParams['axes.labelsize'] = 12\r\nplt.rcParams['axes.titlesize'] = 14\r\nplt.rcParams['xtick.labelsize'] = 11\r\nplt.rcParams['ytick.labelsize'] = 11\r\nplt.rcParams['legend.fontsize'] = 10\r\n\r\ndef plot_combo_chart(x_labels, bar1, label1, bar2, label2, line_data, line_label, title, y_left, y_right, filename):\r\n    \"\"\"\r\n    Helper function to generate a dual-axis combination chart.\r\n    Bars: 6 decimal places (smaller font).\r\n    Line: 3 decimal places (slightly larger, bolder font).\r\n    \"\"\"\r\n    fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(11, 6.5))\r\n    x = np.arange(len(x_labels))\r\n    width = 0.35\r\n\r\n    rects1 = ax1.bar(x - width\/2, bar1, width, label=label1, color='#4C72B0', alpha=0.85)\r\n    rects2 = ax1.bar(x + width\/2, bar2, width, label=label2, color='#DD8452', alpha=0.85)\r\n    \r\n    ax1.set_ylabel(y_left, fontweight='bold')\r\n    ax1.set_xticks(x)\r\n    ax1.set_xticklabels(x_labels)\r\n    \r\n    ax1.bar_label(rects1, fmt='%.6f', padding=4, fontsize=8, color='#1b2a49')\r\n    ax1.bar_label(rects2, fmt='%.6f', padding=4, fontsize=8, color='#5c2a11')\r\n    \r\n    max_bar_val = max(max(bar1), max(bar2))\r\n    if max_bar_val > 0:\r\n        ax1.set_ylim(0, max_bar_val * 1.25)\r\n    \r\n    ax2 = ax1.twinx()\r\n    line = ax2.plot(x, line_data, color='#C44E52', marker='D', linestyle='--', linewidth=2.5, markersize=8, label=line_label)\r\n    \r\n    ax2.set_ylabel(y_right, color='#C44E52', fontweight='bold')\r\n    ax2.tick_params(axis='y', labelcolor='#C44E52')\r\n    \r\n    for i, val in enumerate(line_data):\r\n        if not np.isnan(val):\r\n            ax2.annotate(f'{val:.3f}', \r\n                         (x[i], val), \r\n                         textcoords=\"offset points\", \r\n                         xytext=(0, 10), \r\n                         ha='center', \r\n                         fontsize=10.5, \r\n                         color='#C44E52', \r\n                         fontweight='bold')\r\n    \r\n    max_line_val = max([v for v in line_data if not np.isnan(v)] or [0])\r\n    if max_line_val > 0:\r\n        ax2.set_ylim(0, max_line_val * 1.35)<\/pre>\n
> Der vollst\u00e4ndige Quellcode einschlie\u00dflich Datenparsing und Vorverarbeitung ist in der beigef\u00fcgten `main.py` referenziert.<\/p>\n
# 7. Versuchshinweise<\/p>\n
Da in diesem Versuch feinste \u00c4nderungen im Rotationssystem behandelt werden, sind zur Minimierung geometrischer Fehler und Reibung die folgenden Punkte strikt einzuhalten.<\/p>\n
## 7.1 Ausrichten der Rotationsvorrichtung (Leveling)<\/p>\n
Stelle die Wasserwaage am Sockel des Rotationsst\u00e4nders so ein, dass die Blase zentriert ist. Ist die Apparatur nicht eben, kann sich die Achse der Scheibe neigen, und Gravitationskomponenten k\u00f6nnen eine unerw\u00fcnschte zus\u00e4tzliche resultierende Drehmomentwirkung erzeugen, was zu erheblichen systematischen Fehlern bei der Messung der Winkelbeschleunigung f\u00fchrt.<\/p>\n
## 7.2 Vermeidung von Faden\u00fcberlagerung und Ausrichtung (String Winding & Alignment)<\/p>\n
Beim Aufwickeln des Fadens auf die Achse (3-stufige Rolle) darauf achten, dass der Faden nicht \u00fcberlappt und sauber in einer Reihe liegt. \u00dcberlappender Faden ver\u00e4ndert den effektiven Achsenradius $r$ um die Fadendicke. Da $r$ quadratisch in die Versuchsgleichung $I = mr^2 (\\frac{g}{r\\alpha} - 1)$ eingeht, kann eine kleine Radius\u00e4nderung gro\u00dfe Abweichungen im ermittelten Tr\u00e4gheitsmoment verursachen. Au\u00dferdem ist die Rolle so zu justieren, dass der Faden beim \u00dcbergang zur Smart Pulley horizontal liegt, damit die Spannung rein tangential wirkt.<\/p>\n
## 7.3 Zentrischer Aufprall beim Ringabwurf (Centering the Mass Ring)<\/p>\n
Beim Abwurf des Rings auf die rotierende Scheibe (Experiment B) sicherstellen, dass der Ring genau in der zentralen F\u00fchrungsnut sitzt. Ein Versatz um $d$ bewirkt gem\u00e4\u00df dem Parallelachsen-Theorem ($I = I_{cm} + Md^2$) ein unerwartet erh\u00f6htes Tr\u00e4gheitsmoment, was zu gro\u00dfen Fehlern in der Nachberechnung des Drehimpulses f\u00fchrt.<\/p>\n
## 7.4 Minimierung \u00e4u\u00dferer Drehmomente (Minimizing External Torque)<\/p>\n
Beim Abwurf des Rings darauf achten, keine tangentiale Kraft oder starken Druck auszu\u00fcben. Der Ring soll nur unter der Wirkung der Schwerkraft \u201efallen gelassen\" werden; au\u00dfer Reibung sollten keine \u00e4u\u00dferen Drehmomente in das System eingebracht werden, um die reine Drehimpulserhaltung zu beobachten.<\/p>\n
## 7.5 Sicherstellung ausreichender Fallh\u00f6he f\u00fcr die h\u00e4ngende Masse (Safety of Hanging Mass)<\/p>\n
W\u00e4hrend Experiment A darauf achten, dass die fallende Masse nicht auf den Boden oder das Smart Gate aufschl\u00e4gt. Ein Aufprall w\u00fcrde die Spannung $T$ abrupt auf Null setzen oder einen R\u00fcckprall verursachen und damit den linearen Bereich der Winkelbeschleunigung zerst\u00f6ren. Die Datenerfassung sollte unmittelbar vor dem Auftreffen enden; die Masse sicher per Hand oder Polster auffangen.<\/p>\n
# 8. Literaturverzeichnis<\/p>\n
[1] \u6176\u7199\u5927\u5b66 (Kyung Hee University), \"E1-05 Conservation of Angular Momentum,\" APHY1002-11 Physics and Experiment 1 laboratory materials (PDF), n.d.
\n[2] \u6176\u7199\u5927\u5b66 (Kyung Hee University), \"E1-05_Conservation of Angular Momentum,\" APHY1002-11 Physics and Experiment 1 laboratory materials (PDF), n.d.
\n[3] \u6176\u7199\u5927\u5b66 (Kyung Hee University), \"EXP05_Conservation_of_Angular_Momentum,\" APHY1002-11 Physics and Experiment 1 data sheet (CSV), 2026.
\n[4] \u6176\u7199\u5927\u5b66 (Kyung Hee University), \"Physics Lab OT - Lee Geonbin,\" APHY1002-11 Physics and Experiment 1 orientation materials (PDF), n.d.
\n[5] Mao Junjian, Gu Mu, University Physics (3rd Edition, Vol. 1), Higher Education Press, 2020, ISBN: 9787040548822.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
1. Versuchstitel<\/p>\n
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