QUIZ 1 Probability and Random Variables 2026.09.28 **Problem 1. [20 Points]** A fair six-sided die has its faces labeled $\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}$. The die is rolled eight times independently. i. (10 pts) Find the probability that the number 1 appears exactly twice and the number 2 appears exactly three times. ii. (10 pts) Given that the number 3 appears exactly four times, find the conditional probability that the number 1 appears exactly twice. **【中文翻译】** 一枚均匀的六面骰子，其六个面上的数字分别为 $\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}$。独立投掷该骰子八次。 i. (10分) 求数字 1 恰好出现两次，且数字 2 恰好出现三次的概率。 ii. (10分) 已知数字 3 恰好出现了四次，求数字 1 恰好出现两次的条件概率。 --- **【第一题解析】** **理论背景**：本题考...

内积（Inner Product）是线性代数、泛函分析、信号处理、机器学习与量子力学中共用的核心代数结构。本文以"内积"为唯一主线，从有限维欧几里得空间中的点积出发，依次引入内积空间公理、正交分解、最小二乘投影、希尔伯特空间、傅里叶级数与变换、卷积、离散余弦变换、小波分析、自注意力机制、核方法以及量子力学中的态矢量投影，揭示这些看似分属不同学科的概念在数学结构上的统一性：定义内积 → 建立正交基 → 投影分解 → 提取信息。本文旨在为读者提供一张贯穿数学、工程与物理的认知图谱。

ESP32 跑道进近灯摆件 本项目是一款高度还原 民航跑道进近灯光系统 的桌面智能摆件。它融合了 ESP32 微控制器 与 硬逻辑时序电路（NE556+CD4017），在实现拟真视觉效果的同时，能够实时抓取并显示全球机场的 METAR 与 TAF 气象报文。 1. 摘要 本项目旨在设计并实现一个兼具装饰性与功能性的航空主题摆件。硬件层面，通过两层 PCB 堆叠结构，利用 NE556 双定时器和 CD4017 计数器实现了 20 路流水灯（跑兔灯）与 48 路常亮灯的混合驱动，并支持亮度和闪烁频率的硬件调节。软件层面，基于 MicroPython 开发，利用 ESP32 的 WiFi 能力实现 Web 配网与航空气象数据（METAR/TAF）的实时爬取。该项目不仅复现了机场跑道端的视觉美感，也为航空爱好者提供了一个实用的气象监控终端。 2. 功能特性 仿真灯效：包含 20 盏流水引导灯（模拟顺序闪烁灯）及 48 盏常亮进近灯。 硬件交互： 左旋钮：总电...

引言 本文系统阐述了电阻、电容与电感在交流电路中的阻抗特性及其物理意义。 通过相量法与频率域分析，分别推导了三种元件的阻抗公式， 揭示了电压、电流之间的相位关系与能量变化规律。 文中还对比总结了电阻、容抗与感抗的数学表达式及频率特性， 帮助读者直观理解“通交隔直”“通直阻交”等经典规律， 为后续的滤波器、电路谐振与交流分析等应用奠定理论基础。 --- 1. 阻抗的基本概念 1.1 定义 **阻抗**是电路元件在交流电路中对抗电流流动能力的总称。它是电阻（消耗能量）和电抗（储存和释放能量）的复数表示。 1.2 数学表示 阻抗 $Z$ 是一个复数： $$ Z = R + jX $$ 其中： - $R$ 是**电阻分量**（实部），代表能量的耗散 - $X$ 是**电抗分量**（虚部），代表能量的储存与释放 - $j$ 是虚数单位（在电子学中常用 $j$ 代替 $i$） 1.3 阻抗的模和相位 阻抗的大小（模）和相位角为： $$ |Z| = \sqrt{R^2 + X^2} ...