# 1.実験題目
本実験のテーマは **慣性モーメントの測定と角運動量保存** である。
# 2. 実験目的
回転する剛体（Rigid Body）の角加速度（Angular Acceleration）を測定することによりその物体の**慣性モーメント（Moment of Inertia）**を実験的に決定し、幾何学的構造に基づいて計算した理論値と比較して回転運動の力学的原理を理解する。また、回転系に外部トルクが作用しない場合に**角運動量（Angular Momentum）**が保存されることを実験的に確認し、この過程でのエネルギー変化を考察する。
# 3. 関連理論
## 3.1 慣性モーメント（Moment of Inertia）
回転運動をする物体において直線運動の「質量（Mass）」に対応する物理量であり、物体がその回転状態を維持しようとする性質の大きさを示す。質量 $m_i$ の粒子が回転軸から距離 $r_i$ 離れているとき、慣性モーメント $I$ は次のように定義される。
$$I = \sum m_i r_i^2$$
連続的な質量分布を持つ剛体の場合は、微小質量 $dm$ に対して積分して求める。
$$I = \int r^2 dm$$
### 3.1.1 円板（Disk）と環（Ring）の慣性モーメントの導出（証明）
#### 3.1.1.1 一様な円板（Solid Disk）
半径 $R$、全質量 $M$ の一様な円板の中心軸に対する慣性モーメントを求める。円板の面密度は $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ である。
半径 $r$、厚さ $dr$ の微小な環を考えると、微小面積 $dA = 2\pi r dr$ であり、微小質量は $dm = \sigma dA = \frac{M}{\pi R^2} \cdot 2\pi r dr$ である。
$$I_{disk} = \int_0^R r^2 dm = \int_0^R r^2 \left( \frac{2Mr}{R^2} \right) dr = \frac{2M}{R^2} \int_0^R r^3 dr$$
$$I_{disk} = \frac{2M}{R^2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{2M}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}MR^2$$
#### 3.1.1.2 厚い環（Thick Ring）
内径 $R_1$、外径 $R_2$、質量 $M$ の環の慣性モーメントを求める。面密度は $\sigma = \frac{M}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$ である。
$$I_{ring} = \int_{R_1}^{R_2} r^2 \left( \frac{2Mr}{R_2^2 - R_1^2} \right) dr = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{R_1}^{R_2}$$
$$I_{ring} = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \cdot \frac{R_2^4 - R_1^4}{4} = \frac{M}{2(R_2^2 - R_1^2)}(R_2^2 - R_1^2)(R_2^2 + R_1^2)$$
$$I_{ring} = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$$
## 3.2 角運動量とトルクの関係の導出（ニュートン第2法則の回転版）
回転運動を力学的に解析するために、並進運動の基本法則であるニュートン第2法則（$F = ma$）を回転運動の形に変換する。
質量 $m$ の単一粒子を仮定すると、ニュートン第2法則の微分形は線運動量（$p = mv$）の時間変化率として次のように表される。
$$F = \frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt}$$
この粒子が原点から位置ベクトル $r$ にあるとき、粒子に作用するトルク $\tau$ は位置ベクトルと力ベクトルの外積で定義される。
$$\tau = r \times F$$
上の式の $F$ にニュートン第2法則の微分形を代入すると次のようになる。
$$\tau = r \times \frac{dp}{dt} \tag{1}$$
一方、粒子の角運動量 $L$ は位置ベクトルと線運動量の外積として定義される。
$$L = r \times p$$
この角運動量を時間 $t$ に関して微分すると、積の微分法則により次のように展開される。
$$\frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(r \times p) = \left( \frac{dr}{dt} \times p \right) + \left( r \times \frac{dp}{dt} \right)$$
ここで $\frac{dr}{dt}$ は粒子の速度 $v$ であり、線運動量は $p = mv$ である。速度ベクトル $v$ とそれと平行な $mv$ の外積は 0 になる（$v \times mv = 0$）。したがって第一項は消え、第二項のみが残る。
$$\frac{dL}{dt} = r \times \frac{dp}{dt} \tag{2}$$
式 (1) と式 (2) を比較すると、トルクと角運動量の根本的な関係が得られる。すなわち、系に作用する合計トルクは角運動量の時間変化率に等しい。
$$\tau = \frac{dL}{dt} \tag{3}$$
この関係を固定軸回転する剛体に拡張する。剛体が角速度 $\omega$ で回転するとき、半径 $r$ にある粒子の速度は $v = r\omega$（スカラー表記）であり、その粒子の角運動量は次のようになる。
$$L = r \cdot p = r(mv) = mr^2\omega$$
ここで $mr^2$ は粒子の慣性モーメントへの寄与であり、したがって $L = I\omega$ が成り立つ。これを式 (3) に代入して時間微分を行うと、
$$\tau = \frac{d}{dt}(I\omega) = I\frac{d\omega}{dt} = I\alpha \tag{4}$$
最終的に、並進運動の $F = m\frac{dv}{dt}$ に完全に対応する回転運動の運動方程式が得られる。
$$\tau = r \times F = I\alpha = \frac{dL}{dt}$$
この方程式は本実験において円板やリングの回転加速度 $\alpha$ を測定して慣性モーメント $I$ を逆算するための重要な数学的根拠となる。
## 3.3 回転運動エネルギー（Rotational Kinetic Energy）とその導出
並進運動をする物体の運動エネルギーが質量と速度によって決まるように、固定軸回転する剛体の運動エネルギーも慣性モーメントと角速度によって定義される。これを回転運動エネルギーと呼び、並進運動エネルギーの基本定義を回転する剛体の各微小質量要素に適用して導出できる。
### 3.3.1 導出過程
剛体が固定軸を中心に角速度 $\omega$ で回転していると仮定する。この剛体は多数の微小粒子から構成されていると見ることができる。
回転軸から垂直距離 $r_i$ 離れた質量 $m_i$ を持つ $i$ 番目の粒子の接線速度 $v_i$ は次のように角速度 $\omega$ と関係する。
$$v_i = r_i \omega$$
この $i$ 番目の粒子の並進運動エネルギー $K_i$ はニュートン力学の定義に従い次の通りである。
$$K_i = \frac{1}{2}m_i v_i^2$$
ここに $v_i = r_i \omega$ を代入して整理すると、
$$K_i = \frac{1}{2}m_i (r_i \omega)^2 = \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2$$
となる。
剛体全体の回転運動エネルギー $K_{rot}$ は全ての粒子の運動エネルギーの和である。剛体は剛体的に回転するので全粒子が同一の角速度 $\omega$ を共有し、したがって $\omega$ を和の外に出すことができる。
$$K_{rot} = \sum_{i} K_i = \sum_{i} \left( \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 \right)$$
$$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \sum_{i} m_i r_i^2 \right) \omega^2$$
ここで括弧内の式 $\sum_{i} m_i r_i^2$ は前述の節 3.1 で定義した慣性モーメント $I$ と同じである。
したがって括弧部分を $I$ に置き換えると最終的な回転運動エネルギーの式が得られる。
$$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$$
この結果は並進運動のエネルギー式 $K = \frac{1}{2}mv^2$ と完全な数学的対称性を成す。すなわち回転運動では質量 $m$ の代わりに慣性モーメント $I$ が、線速度 $v$ の代わりに角速度 $\omega$ が役割を果たすことを示す。
### 3.3.2 本実験における物理的意味
本実験の「実験 B（角運動量保存）」で回転する円板にリングを落とす過程は、外部トルクがないため角運動量 $L$ は保存されるが、内部摩擦により最終的に両者が同じ角速度で回転するという点で完全非弾性衝突（Perfectly inelastic collision）と力学的に同等である。したがってこの式を用いれば、衝突の前後での回転運動エネルギーを計算し、角運動量が保存されているにもかかわらず運動エネルギーが熱などに散逸している（$\Delta K_{rot} < 0$）ことを追加的に示すことができる。
## 3.4 角運動量保存則（Conservation of Angular Momentum）
系に作用する外力による合計トルクが 0 の場合（$\tau_{ext} = 0$）、系の総角運動量は一定に保たれる。
$$\frac{dL}{dt} = 0 \implies L = I_i \omega_i = I_f \omega_f = \text{Constant}$$
本実験では回転する円板にリングを落として慣性モーメントを $I_i \to I_f$ に変化させたときに角速度が $\omega_i \to \omega_f$ へ変化する過程を通じてこれを確認する。
## 3.5 実験的慣性モーメント測定の原理と式の導出
本実験では回転軸（半径 $r$）に糸を巻き、その端に質量 $m$ のおもりを吊るして自由落下させる方法を用いる。おもりが重力で加速して落下する際に糸を引き、糸の張力 $T$ が回転軸にトルクを生じさせて系全体を回転させる。この力学的過程を式で分解すると次の通りである。
### 3.5.1 おもりの並進運動方程式（Translational Equation of Motion）
落下する質量 $m$ のおもりに作用する合力は下向きの重力 $mg$ と上向きの糸の張力 $T$ である。落下方向を正（+）とすると、ニュートン第2法則に従う線加速度 $a$ の運動方程式は次のようになる。
$$mg - T = ma \tag{1}$$
### 3.5.2 剛体の回転運動方程式（Rotational Equation of Motion）
糸が回転軸に及ぼす張力 $T$ は半径 $r$ の接線方向に作用するため、合トルク $\tau$ を形成する。回転体の総慣性モーメントを $I$、角加速度を $\alpha$ とするとトルク方程式は次の通りである（張力の作用線と半径ベクトルは直交するため $\sin 90^\circ = 1$ となる）。
$$\tau = r \times T = rT = I\alpha \tag{2}$$
### 3.5.3 線加速度と角加速度の拘束条件（Kinematic Constraint）
糸が伸びたり回転軸で滑ったりしない理想状態を想定すると、おもりの線加速度 $a$ と回転軸表面の接線加速度は完全に同一である。したがって線運動と回転運動の間には次の幾何学的関係が成立する。
$$a = r\alpha \tag{3}$$
### 3.5.4 式の導出展開過程
上の三つの式を連立して、実験的に求めたい慣性モーメント $I$ の式を導出する。
まず式 (3) の拘束条件 $a = r\alpha$ を式 (1) に代入して張力 $T$ について整理する。
$$mg - T = m(r\alpha)$$
$$T = m(g - r\alpha) \tag{4}$$
得られた張力 $T$ を回転運動方程式 (2) に代入する。
$$r \cdot \left[ m(g - r\alpha) \right] = I\alpha$$
左辺の括弧を展開すると次のようになる。
$$mgr - mr^2\alpha = I\alpha$$
目的である慣性モーメント $I$ について整理するために両辺を角加速度 $\alpha$ で割る。
$$I = \frac{mgr - mr^2\alpha}{\alpha} = \frac{mgr}{\alpha} - mr^2$$
最後に共通因子 $mr^2$ を括り出すと最終的な慣性モーメントの実験式が完成する。
$$I = mr^2 \left( \frac{g}{r\alpha} - 1 \right)$$
この導出された最終式を用いれば、実験室で直接測定した幾何学定数（おもりの質量 $m$、回転軸の半径 $r$）と重力加速度 $g$、および SPARKvue データ収集ソフトウェアにより線形回帰で得られた**角加速度（Angular Acceleration）** $\alpha$ の値を代入することで、複雑な形状の剛体の慣性モーメント $I$ を定量的に決定できる。
# 4. 実験方法
本実験は大きく二つの部分に分かれて実施する。**実験 A** では落下するおもりを用いて円板とリングの慣性モーメントを測定し、**実験 B** では回転する円板にリングを落として角運動量が保存されるかを確認する。
## 4.1 実験 A 慣性モーメント測定 (Measurement of Moment of Inertia)
1. **回転装置の設置**: [図3] のように回転スタンドを設置し、円板（Rotational Disk）を回転軸に取り付ける。水平器（Leveler）を使って回転スタンドと円板の水平を正確に合わせる。
2. **スマートゲートの設定**: スマートゲート（Smart Gate）を回転スタンドに固定する。このときスマートゲートのセンサが回転軸に取り付けられた滑車（Pulley）の溝（Spoke）を正確に検出できるように位置を調整する。
3. **基礎データの測定**: おもりとおもりハンガーの合計質量 $m$ を電子はかりで測定し、糸が巻かれる回転軸の半径 $r$ をノギス（Vernier Calipers）で精密に測定する。
4. **ソフトウェア準備**: SPARKvue アプリを起動し、**[Smart Gate Only]** -> [Smart Pulley (Rotational)] を選択する。**Spoke Angle** を $36^\circ$（または装置に合わせた値）に設定し、測定物理量として **Velocity** と **Acceleration** を選択する。
5. **円板の角加速度測定**: 糸を回転軸に巻きつけておもりを落とす際の角速度を測定する。データグラフ上で角加速度 $\alpha$ が一定の区間を選び線形回帰（Linear Fit）を行い、その傾きを記録する。
6. **繰り返し測定**: 手順5を合計5回繰り返して円板の平均角加速度を求め、これにより $I_{disk}$ を計算する。
7. **リング（Mass Ring）を追加**: 円板の上にリングを載せて手順5〜6を繰り返す。このとき測定される値は円板とリングの合成慣性モーメント $I_{total}$ に対応し、先に求めた $I_{disk}$ を差し引いて $I_{ring}$ の実験値を導出する。
## 4.2 実験 B 角運動量保存（Conservation of Angular Momentum）
1. **装置の再配置**: 実験 A で使用した糸とおもりを取り外す。系は外部トルクが存在しない自由回転状態であるべきである。
2. **初期回転と計測開始**: 円板を手で軽く回して回転させ、SPARKvue の計測（Start）ボタンを押す。
3. **初期角速度（$\omega_1$）の測定**: 円板が安定して回転しているとき、リングを落とす直前の角速度 $\omega_1$ を記録する。
4. **リング投下**: 円板の回転軸に合わせてリングを慎重に落とす。このときリングが円板の中心に正確に装着されるよう注意する。
5. **後の角速度（$\omega_2$）の測定**: リングが装着された後、円板とリングが一緒に回転して安定した状態の角速度 $\omega_2$ を記録する。
6. **データ解析**: 測定した $\omega_1, \omega_2$ と実験 A で得た $I_{disk}, I_{total}$ を用いて衝突前後の角運動量 $L_1, L_2$ を計算し、保存の有無を確認する。
7. **繰り返し測定**: 手順2〜6 を合計5回繰り返してデータの信頼性を確保する。
# 5. 実験結果
## 5.1 実験基本諸元（Constants）
実験 A および B の計算に共通して用いた幾何学定数および質量の測定値は次のとおりである。
| パラメータ (Parameter) | 記号 (Symbol) | 測定値 (Value) | 単位 (Unit) |
|---|---|---|---|
| おもりの質量 (Hanging Mass) | $m$ | 0.145 | $\text{kg}$ |
| 回転軸半径 (Axle Radius) | $r$ | 0.0115 | $\text{m}$ |
| 円板質量 (Disk Mass) | $M_{disk}$ | 1.427 | $\text{kg}$ |
| 円板半径 (Disk Radius) | $R_{disk}$ | 0.1145 | $\text{m}$ |
| リング質量 (Ring Mass) | $M_{ring}$ | 1.441 | $\text{kg}$ |
| リング内径 (Ring Inner Radius) | $R_1$ | 0.054 | $\text{m}$ |
| リング外径 (Ring Outer Radius) | $R_2$ | 0.0635 | $\text{m}$ |
| 重力加速度 (Gravity) | $g$ | 9.8 | $\text{m/s}^2$ |
## 5.2 実験 A 慣性モーメント測定（Rotational Inertia）
### 5.2.1 測定データおよび実験値の計算
円板単独回転と円板＋リングの重ね回転に対して、それぞれ5回ずつおもりを落下させて角加速度 $\alpha$ を測定した。実験的慣性モーメントは式 $I = mr^2 (\frac{g}{r\alpha} - 1)$ を用いて導出した。リング単体の慣性モーメントの実験値は合成慣性モーメントから円板の慣性モーメントを差し引いて（$I_{ring} = I_{total} - I_{disk}$）計算した。
| 試行 (Trial) | 円板 $\alpha$ (rad/s^2) | 円板 $I_{disk}$ (kg \cdot m^2) | 円板+リング $\alpha$ (rad/s^2) | 合成慣性モーメント $I_{total}$ (kg \cdot m^2) |
|---|---|---|---|---|
| Trial 1 | 1.860 | 0.008767 | 1.210 | 0.013486 |
| Trial 2 | 1.850 | 0.008814 | 1.210 | 0.013486 |
| Trial 3 | 1.850 | 0.008814 | 1.220 | 0.013375 |
| Trial 4 | 1.850 | 0.008814 | 1.210 | 0.013486 |
| Trial 5 | 1.850 | 0.008767 | 1.210 | 0.013486 |
| 平均 (AVERAGE) | 1.8525 | 0.008795 | 1.2120 | 0.013464 |
### 5.2.2 誤差解析（Error Analysis Summary）
円板とリングの理論的慣性モーメントはそれぞれ $I_{disk} = \frac{1}{2}MR^2$, $I_{ring} = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$ の式を用いて計算し、これを実験平均値と比較した。
| 項目 (Item) | 実験値 $I_{exp}$ (kg \cdot m^2) | 理論値 $I_{theo}$ (kg \cdot m^2) | 相対誤差率 (\%) |
|---|---|---|---|
| 円板 (Disk Only) | 0.008795 | 0.009354 | 5.977 |
| リング (Mass Ring) | 0.004669 | 0.005006 | 6.736 |
_※ リングの実験値 $I_{ring}$ は（合成慣性モーメント平均 0.013464） -（円板慣性モーメント平均 0.008795）= 0.004669 として計算される。_
## 5.3 実験 B 角運動量保存（Conservation of Angular Momentum）
回転する円板上にリングを落とす完全非弾性衝突実験を5回繰り返した。衝突前の初期角運動量 $L_1 = I_{disk} \cdot \omega_1$ と衝突後の後の角運動量 $L_2 = I_{total} \cdot \omega_2$ を計算して両者の差を確認した。
（注意：角運動量の計算に用いた慣性モーメント $I$ は実験 A で求めた実験平均値を適用している。）
| 試行 (Trial) | 初期 $\omega_1$ (rad/s) | 後の $\omega_2$ (rad/s) | 初期 $L_1$ (kg \cdot m^2/s) | 後の $L_2$ (kg \cdot m^2/s) | 誤差率 (\%) |
|---|---|---|---|---|---|
| Trial 1 | 8.730 | 5.620 | 0.076781 | 0.075668 | 1.450 |
| Trial 2 | 12.200 | 7.920 | 0.107300 | 0.106635 | 0.619 |
| Trial 3 | 13.900 | 9.120 | 0.122251 | 0.122792 | 0.442 |
| Trial 4 | 14.700 | 9.460 | 0.129288 | 0.127370 | 1.483 |
| Trial 5 | 15.500 | 10.400 | 0.136324 | 0.140026 | 2.716 |
| 平均 (AVERAGE) | 13.006 | 8.504 | 0.114389 | 0.114498 | 1.342 |
_※ 誤差率の計算式: $\delta = \frac{\|L_1 - L_2\|}{L_1} \times 100 \%$_
# 6. 分析および考察
本解析では実験 A（慣性モーメント測定）と実験 B（角運動量保存）の測定値と理論値を定量的かつ視覚的に比較するために Python ベースのデータ解析および可視化アルゴリズムを用いた。これにより絶対的な物理量の比較（棒グラフ）と相対誤差の変動傾向（折れ線グラフ）を二軸（Dual-axis）コンボチャートで実装し、データの信頼性と系統誤差を直感的に解析した。
慣性モーメントの実験値 $I_{exp}$ と理論値 $I_{theo}$ の間の相対誤差率 $\delta_I$、および衝突前後の角運動量誤差率 $\delta_L$ は次のように定義して解析に適用した。
$$\delta_I(\%) = \frac{|I_{exp} - I_{theo}|}{I_{theo}} \times 100\%, \qquad \delta_L(\%) = \frac{|L_1 - L_2|}{L_1} \times 100\%$$
## 6.1 実験 A: 円板の慣性モーメントの精密比較（Disk Only）
最初のグラフは円板（Disk）単独回転実験の5回の試行で測定した慣性モーメントの実験値と幾何学的諸元に基づく理論値を比較したものである。
グラフを解析すると、5回の各試行において測定された実験値（青い棒）は理論値（オレンジの棒）よりわずかに低く出ていることがわかる。その結果、赤い点線で表示された相対誤差率は約 **5.97%** 前後で非常に一貫している。
データの散らばり（変動性）が非常に小さいことは、実験者による落下操作や SPARKvue を用いた角加速度 $\alpha$ 測定、線形回帰処理が非常に精密に実行されたことを示している。したがってこの約6% の差はランダム誤差ではなく、実験装置自体の構造的要因による**系統誤差（Systematic Error）** と解釈するのが妥当である。
## 6.2 実験 A: リングの慣性モーメントの精密比較（Mass Ring）
二番目のグラフは円板とリングが結合された状態で測定した合成慣性モーメント $I_{total}$ から円板の慣性モーメント $I_{disk}$ を差し引いて得たリング単体の実験値と理論値を比較した結果である。
リングの慣性モーメントの誤差率も約 **6.73%** であり、円板実験と同様の傾向と安定した誤差範囲を示している。実験 A 全体で実験値が理論値より約6% 小さく算出された（$I_{exp} < I_{theo}$）原因は次の二点で深く分析できる。
1. **糸の厚さによる有効半径（Effective Radius）の増加:**
実験式 $I = mr^2 (\frac{g}{r\alpha} - 1)$ における回転軸半径 $r$ は二乗で寄与するため結果に大きく影響する。我々が代入した $r = 0.0115\,\text{m}$ は糸が巻かれていない素の軸の半径である。しかし実際には軸に巻かれた糸の厚み（$r_{string}$）や重なりによりトルクが作用する実効半径は $r_{eff} = r + r_{string}/2$ のようにわずかに大きくなる。式に実際より小さい $r$ を用いたため実験で得られる慣性モーメントは理論値より小さく出る。
2. **剛体の理想的質量分布仮定の限界:**
$0.5MR^2$ 等の式は剛体が完全に一様な連続体であることを仮定している。実験用の円板やリングは取り付け用の中央の溝やピン、材料の摩耗等により質量分布が完全に一様でないことがあり、これが理論値との差を生じさせる。
## 6.3 実験 B: 角運動量保存の総合分析（Conservation of Angular Momentum）
三番目のグラフは外力が遮断された状態で回転する円板にリングを落とす完全非弾性衝突実験における衝突前後の角運動量（$L_1$, $L_2$）の変化を示す。
このチャートは本実験の白眉であり、棒グラフを見ると5回の試行すべてで初期角運動量 $L_1$ と後の角運動量 $L_2$ の高さがほぼ完全に一致している。右軸基準の誤差率（Difference）折れ線は最小 0.44% から最大 2.71% を記録し、**平均 1.34%** という驚くべき精度を示している。
これは角速度が $\omega_1$ から $\omega_2$ に急激に低下しているにもかかわらず、慣性モーメントの増加（$I_{disk} \to I_{total}$）がこれを正確に相殺して $I_{disk}\omega_1 = I_{total}\omega_2$ が成立することを数値的に証明している。
ただし微小な残差（約 1.3%）が発生する原因としては次が考えられる。
- **摩擦トルク（Frictional Torque）:** リングを落として速度が再び安定化（$\omega_2$）するまでの短時間の間にベアリングの摩擦や空気抵抗が系に負の合トルクとして作用し、角運動量をわずかに減少させる。
- **投下時の中心軸偏差:** リングを落とす際に完全に中心に載らず中心から距離 $d$ だけずれると、平行軸の定理（$I = I_{cm} + Md^2$）により後の有効慣性モーメントが予想より大きくなり、角速度変動に微小な誤差を生じさせる。
## 6.4 総合結論
本実験により次の力学的原理を検証した。
1. 剛体の質量および幾何学的分布（半径）が慣性モーメントを決定する主要因であることを実験式 $I = mr^2 (\frac{g}{r\alpha} - 1)$ により定量的に確認した（誤差率約5〜6%）。
2. 外部合トルクが 0 の孤立系では系内部の質量分布が変化（リング投下）して角速度が変化しても総角運動量は一定に保存されることを平均誤差率 **1.34%** の高い信頼度で実証した。
3. 実験データの初期解析過程で回転軸の「直径」を「半径」と誤って代入していた致命的な人的ミス（初期誤差率 80%以上）を発見して修正した。この過程を通じてデータ検証の重要性と式中の特に二乗項 $r$ の敏感性を深く体験した。
## 6.5 Python ソースコード（データ可視化アルゴリズム）
本報告のデータ解析に用いた Python アルゴリズムのコア可視化関数（二軸コンボチャート生成）は次のとおりである。
import csv
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import os
plt.rcParams['font.family'] = 'serif'
plt.rcParams['font.serif'] = ['Times New Roman', 'DejaVu Serif']
plt.rcParams['mathtext.fontset'] = 'stix'
plt.rcParams['axes.labelsize'] = 12
plt.rcParams['axes.titlesize'] = 14
plt.rcParams['xtick.labelsize'] = 11
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plt.rcParams['legend.fontsize'] = 10
def plot_combo_chart(x_labels, bar1, label1, bar2, label2, line_data, line_label, title, y_left, y_right, filename):
"""
Helper function to generate a dual-axis combination chart.
Bars: 6 decimal places (smaller font).
Line: 3 decimal places (slightly larger, bolder font).
"""
fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(11, 6.5))
x = np.arange(len(x_labels))
width = 0.35
rects1 = ax1.bar(x - width/2, bar1, width, label=label1, color='#4C72B0', alpha=0.85)
rects2 = ax1.bar(x + width/2, bar2, width, label=label2, color='#DD8452', alpha=0.85)
ax1.set_ylabel(y_left, fontweight='bold')
ax1.set_xticks(x)
ax1.set_xticklabels(x_labels)
ax1.bar_label(rects1, fmt='%.6f', padding=4, fontsize=8, color='#1b2a49')
ax1.bar_label(rects2, fmt='%.6f', padding=4, fontsize=8, color='#5c2a11')
max_bar_val = max(max(bar1), max(bar2))
if max_bar_val > 0:
ax1.set_ylim(0, max_bar_val * 1.25)
ax2 = ax1.twinx()
line = ax2.plot(x, line_data, color='#C44E52', marker='D', linestyle='--', linewidth=2.5, markersize=8, label=line_label)
ax2.set_ylabel(y_right, color='#C44E52', fontweight='bold')
ax2.tick_params(axis='y', labelcolor='#C44E52')
for i, val in enumerate(line_data):
if not np.isnan(val):
ax2.annotate(f'{val:.3f}',
(x[i], val),
textcoords="offset points",
xytext=(0, 10),
ha='center',
fontsize=10.5,
color='#C44E52',
fontweight='bold')
max_line_val = max([v for v in line_data if not np.isnan(v)] or [0])
if max_line_val > 0:
ax2.set_ylim(0, max_line_val * 1.35)
> 全データのパースおよび前処理ロジックを含む完全なソースコードは添付の `main.py` を参照。
# 7. 実験時の注意事項
本実験は回転力学系の微小な変化を扱うため、幾何学的誤差と摩擦を最小限に抑えるために以下の点を厳守して実験を行う必要がある。
## 7.1 回転装置の水平維持（Leveling）
回転スタンド底部に付属する水平器（Leveler）の気泡が中央に来るようにネジを調整して装置の水平を完璧に合わせること。水平が取れていないと円板の回転軸が傾き、重力の分力が回転方向に作用して意図しない追加トルクを生じ、角加速度測定に重大な系統誤差を引き起こす。
## 7.2 糸の重なり防止および水平整列（String Winding & Alignment）
回転軸（3段滑車）に糸を巻く際、糸が重ならず一本の列で並ぶように巻くこと。糸が重なって巻かれると回転軸の有効半径 $r$ が糸の厚み分だけ変化する。実験式 $I = mr^2 (\frac{g}{r\alpha} - 1)$ において $r$ は二乗で寄与するため微小な半径変化でも慣性モーメント算出に大きな誤差をもたらす。また、糸がスマート滑車（Smart Pulley）を通過する際に地面と完全に水平になるように滑車の高さを調整し、張力が純粋に回転軸の接線方向のトルクとして作用するようにする。
## 7.3 リング投下時の正確な中心一致（Centering the Mass Ring）
実験 B（角運動量保存）で回転する円板にリングを落とす際、リングが円板の真ん中のガイド溝に正確に嵌るように落とすこと。もし中心から距離 $d$ だけずれて落ちると平行軸の定理（$I = I_{cm} + Md^2$）によりリングの慣性モーメントが異常に大きくなり、後の角運動量計算で大きな誤差を引き起こす。
## 7.4 外部トルク介入の最小化（Minimizing External Torque）
リングを落とす際に手で回転方向の力（初期角速度）を加えたり、垂直方向に強く押さえつけたりしないように注意すること。重力の作用のみでそっと落とす（Drop）ことが重要であり、衝突時に生じる摩擦以外の外部トルクが系に介入しないようにすることで純粋な角運動量保存を観察できる。
## 7.5 おもりの落下安全距離の確保（Safety of Hanging Mass）
実験 A 実施中に落下するおもりが床やスマートゲート装置にぶつからないよう注意すること。おもりが床にぶつかる瞬間に張力 $T$ が突然 0 になったり反動が生じてデータ（角加速度の線形区間）が損なわれる可能性があるため、床に着く直前までのみデータを収集し、手やクッションでおもりを安全に受け止める。
# 8. 参考文献
[1] 慶熙大学 (Kyung Hee University), "E1-05 各運動量保存," APHY1002-11 Physics and Experiment 1 laboratory materials (PDF), n.d.
[2] 慶熙大学 (Kyung Hee University), "E1-05_各運動量保存," APHY1002-11 Physics and Experiment 1 laboratory materials (PDF), n.d.
[3] 慶熙大学 (Kyung Hee University), "EXP05_各運動量保存," APHY1002-11 Physics and Experiment 1 data sheet (CSV), 2026.
[4] 慶熙大学 (Kyung Hee University), "Physics Lab OT - Lee Geonbin," APHY1002-11 Physics and Experiment 1 orientation materials (PDF), n.d.
[5] 毛骏健, 顾牡 (マオ・ジュンジエン, グー・ムー), 『大学物理学（第三版）（上冊）』, 高等教育出版社 (Higher Education Press), 2020, ISBN: 9787040548822.
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