Probability and Random Variables
2026.09.28
**Problem 1. [20 Points]** A fair six-sided die has its faces labeled $\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}$. The die is rolled eight times independently.
i. (10 pts) Find the probability that the number 1 appears exactly twice and the number 2 appears exactly three times.
ii. (10 pts) Given that the number 3 appears exactly four times, find the conditional probability that the number 1 appears exactly twice.
**【中文翻译】**
一枚均匀的六面骰子，其六个面上的数字分别为 $\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}$。独立投掷该骰子八次。
i. (10分) 求数字 1 恰好出现两次，且数字 2 恰好出现三次的概率。
ii. (10分) 已知数字 3 恰好出现了四次，求数字 1 恰好出现两次的条件概率。
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### **【第一题解析】**
**理论背景**：本题考查多项试验（Multinomial Trials）、多项分布（Multinomial Distribution）公式以及已知部分结果条件下的条件概率更新。
首先，根据样本空间 $S = \{1, 2, 2, 3, 3, 3\}$ 中各面出现的占比，计算单次投掷得到各个数字的先验概率：
- $P(1) = \frac{1}{6}$
- $P(2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
- $P(3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
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#### **第 (i) 问**
在 $n = 8$ 次独立投掷中，要求数字 1 出现 $n_1 = 2$ 次，数字 2 出现 $n_2 = 3$ 次。因为骰子面只有 1、2、3 三种数字，因此剩余的 $n_3 = 8 - 2 - 3 = 3$ 次必然全部是数字 3。
应用多项分布概率公式：
$$P(N_1=2, N_2=3, N_3=3) = \frac{n!}{n_1! n_2! n_3!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} p_3^{n_3}$$
具体代入计算：
1. **多项式组合系数**：
$$\frac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} = \frac{40320}{2 \times 6 \times 6} = 560$$
2. **各单次概率连乘**：
$$\left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{36} \times \frac{1}{27} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{7776}$$
3. **最终乘积与约分**：
$$P = 560 \times \frac{1}{7776} = \frac{560}{7776} = \frac{140}{1944} = \frac{35}{486} \approx 7.20\%$$
**正确答案**：$\frac{35}{486}$ （或约 $7.20\%$）。
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#### **第 (ii) 问**
已知数字 3 恰好出现了 4 次，这意味着在排除这 4 次后，剩下的 $8 - 4 = 4$ 次投掷结果只能是数字 1 或数字 2。
我们可以在排除数字 3 的条件下重新归一化相对概率：
- $P(1 \mid 3^c) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$
- $P(2 \mid 3^c) = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$
此时问题简化为：在这剩余的 4 次独立投掷中，数字 1 恰好出现 2 次的二项分布概率 $\text{Bin}(4, 1/3)$：
$$P = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} \approx 29.63\%$$
**正确答案**：$\frac{8}{27}$ （或约 $29.63\%$）。
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**Problem 2. [20 Points]** Two events $A$ and $B$ satisfy
$$P[A] = 0.5, \quad P[B] = 0.4, \quad P[A \cup B] = 0.7$$
i. (10 pts) Determine whether $A$ and $B$ are independent.
ii. (10 pts) Find $P[B \mid A^c]$.
**【中文翻译】**
两个事件 $A$ 和 $B$ 满足 $P[A] = 0.5, P[B] = 0.4, P[A \cup B] = 0.7$。
i. (10分) 判断事件 $A$ 和 $B$ 是否相互独立。
ii. (10分) 求 $P[B \mid A^c]$。
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### **【第二题解析】**
**理论背景**：本题考查容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）、事件独立性（Event Independence）的充要定义以及条件概率与补集公式。
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#### **第 (i) 问**
根据概率的容斥原理公式：
$$P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$$
代入已知条件求解交集概率 $P[A \cap B]$：
$$0.7 = 0.5 + 0.4 - P[A \cap B] \implies P[A \cap B] = 0.2$$
概率论中，两个事件 $A$ 和 $B$ 相互独立当且仅当 $P[A \cap B] = P[A]P[B]$。计算边缘概率的乘积：
$$P[A]P[B] = 0.5 \times 0.4 = 0.2$$
由于计算得出 $P[A \cap B] = P[A]P[B] = 0.2$，故事件 $A$ 与事件 $B$ **相互独立**。
**正确答案**：事件 $A$ 和 $B$ 相互独立。
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#### **第 (ii) 问**
根据条件概率的基本定义：
$$P[B \mid A^c] = \frac{P[B \cap A^c]}{P[A^c]}$$
利用集合分解，事件 $B$ 可以划分为两个不相交子集的并集 $B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B)$：
$$P[B \cap A^c] = P[B] - P[A \cap B] = 0.4 - 0.2 = 0.2$$
分母部分补集概率为：
$$P[A^c] = 1 - P[A] = 1 - 0.5 = 0.5$$
代入计算得：
$$P[B \mid A^c] = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$$
*（注：由于第 (i) 问已证明 $A$ 和 $B$ 相互独立，因此 $A^c$ 与 $B$ 也相互独立，得知 $A$ 未发生并不改变对 $B$ 发生概率的认知，因此可以直接得出 $P[B \mid A^c] = P[B] = 0.4$。）*
**正确答案**：$0.4$。
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**Problem 3. [20 Points]** A communication system attempts to transmit a data packet until the transmission succeeds, with a maximum of four attempts. The probability of success on each attempt is $0.8$, and the outcomes of different attempts are independent. No further attempts are made once a transmission succeeds.
i. (10 pts) Find the probability that the packet is successfully transmitted within four attempts.
ii. (10 pts) Given that the packet is successfully transmitted, find the probability that the first successful transmission occurs on the third attempt.
**【中文翻译】**
一个通信系统尝试传输一个数据包直到传输成功，最多尝试四次。每次尝试成功的概率是 0.8，并且不同尝试的结果是相互独立的。一旦传输成功，就不会进行进一步的尝试。
i. (10分) 求数据包在四次尝试内成功传输的概率。
ii. (10分) 已知数据包被成功传输，求第一次成功传输发生在第三次尝试的概率。
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### **【第三题解析】**
**理论背景**：本题考查独立伯努利试验序列（Bernoulli Trials）、截断几何分布以及贝叶斯定理（条件概率）。
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#### **第 (i) 问**
设单次传输成功概率 $p = 0.8$，失败概率 $q = 1 - p = 0.2$。
“四次尝试内成功传输”的对立事件是“四次尝试全部失败”。因为各次尝试相互独立，四次皆失败的联合概率为：
$$P(\text{全失败}) = q^4 = (0.2)^4 = 0.0016$$
利用对立事件概率公式计算四次内至少成功一次的概率：
$$P(\text{四次内成功}) = 1 - 0.0016 = 0.9984 \quad (99.84\%)$$
*（另解：直接按互斥路径相加：$0.8 + 0.2(0.8) + 0.2^2(0.8) + 0.2^3(0.8) = 0.8(1 + 0.2 + 0.04 + 0.008) = 0.9984$。）*
**正确答案**：$0.9984$ （或 $99.84\%$）。
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#### **第 (ii) 问**
设事件 $S$ 为数据包在四次内成功传输（由第 (i) 问知 $P[S] = 0.9984$）。
设事件 $S_3$ 为第一次成功发生在第三次尝试。
事件 $S_3$ 要求前两次尝试失败且第三次尝试成功：
$$P[S_3] = q \times q \times p = (0.2) \times (0.2) \times (0.8) = 0.032$$
由于 $S_3$ 是事件 $S$ 的一个子集（即 $S_3 \subseteq S$），它们的交集为 $S_3 \cap S = S_3$。代入贝叶斯/条件概率公式：
$$P[S_3 \mid S] = \frac{P[S_3 \cap S]}{P[S]} = \frac{P[S_3]}{P[S]} = \frac{0.032}{0.9984} = \frac{320}{9984} = \frac{5}{156} \approx 3.21\%$$
**正确答案**：$\frac{5}{156}$ （或约 $3.21\%$）。
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**Problem 4. [20 Points]** A factory has three production lines, $L_1, L_2$, and $L_3$, which produce $20\%$, $30\%$, and $50\%$ of the total products, respectively. The defective rates of the three production lines are $1\%$, $2\%$, and $4\%$, respectively. One product is randomly selected from the factory's total production.
i. (10 pts) Find the probability that the selected product is defective.
ii. (10 pts) Given that the selected product is not defective, find the probability that it was produced by either $L_1$ or $L_2$.
**【中文翻译】**
一家工厂有三条生产线 $L_1, L_2$ 和 $L_3$，分别生产了总产品的 20%, 30% 和 50%。这三条生产线的次品率分别为 1%, 2% 和 4%。从工厂的总产品中随机选取一件产品。
i. (10分) 求选出的产品是次品的概率。
ii. (10分) 已知选出的产品不是次品，求它是 $L_1$ 或 $L_2$ 生产的概率。
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### **【第四题解析】**
**理论背景**：本题考查**全概率公式 (Law of Total Probability, LTP)** 与 **贝叶斯定理 (Bayes' Theorem)** 在划分（Partition）上的应用。
设 $L_1, L_2, L_3$ 构成本工厂生产线的划分，先验概率为：
$$P[L_1] = 0.20, \quad P[L_2] = 0.30, \quad P[L_3] = 0.50$$
设 $D$ 为选出的产品为次品，条件次品率分别为：
$$P[D \mid L_1] = 0.01, \quad P[D \mid L_2] = 0.02, \quad P[D \mid L_3] = 0.04$$
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#### **第 (i) 问**
根据全概率公式 (LTP)：
$$P[D] = \sum_{i=1}^{3} P[L_i] P[D \mid L_i]$$
代入数值计算全局次品率：
$$P[D] = (0.20 \times 0.01) + (0.30 \times 0.02) + (0.50 \times 0.04) = 0.002 + 0.006 + 0.020 = 0.028 \quad (2.8\%)$$
**正确答案**：$0.028$ （或 $2.8\%$）。
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#### **第 (ii) 问**
设 $D^c$ 为选出的产品不是次品。选中非次品的全局概率为：
$$P[D^c] = 1 - P[D] = 1 - 0.028 = 0.972$$
我们要求的是条件概率 $P[L_1 \cup L_2 \mid D^c]$。由于 $L_1$ 和 $L_2$ 是互斥的生产线：
$$P[L_1 \cup L_2 \mid D^c] = \frac{P[(L_1 \cup L_2) \cap D^c]}{P[D^c]} = \frac{P[L_1 \cap D^c] + P[L_2 \cap D^c]}{P[D^c]}$$
分别计算 $L_1$ 和 $L_2$ 生产出合格品的联合概率：
- $P[L_1 \cap D^c] = P[L_1] P[D^c \mid L_1] = 0.20 \times (1 - 0.01) = 0.20 \times 0.99 = 0.198$
- $P[L_2 \cap D^c] = P[L_2] P[D^c \mid L_2] = 0.30 \times (1 - 0.02) = 0.30 \times 0.98 = 0.294$
将分子相加并除以非次品总概率 $P[D^c]$：
$$P[L_1 \cup L_2 \mid D^c] = \frac{0.198 + 0.294}{0.972} = \frac{0.492}{0.972} = \frac{492}{972} = \frac{41}{81} \approx 50.62\%$$
**正确答案**：$\frac{41}{81}$ （或约 $50.62\%$）。
Comments NOTHING