Lineare Algebra

Das Innenprodukt(Inner Product) ist eine fundamentale algebraische Struktur, die sich durch lineare Algebra, Funktionalanalysis, Signalverarbeitung, maschinelles Lernen und Quantenmechanik zieht. Diese Arbeit behandelt das Innenprodukt als einziges Thema, beginnend mit dem Punktprodukt(Dot Product) im endlichdimensionalen euklidischen Raum, und führt nacheinander die Axiome des Innenproduktraums, die orthogonale Zerlegung(Orthogonal Decomposition), die Kleinste-Quadrate-Projektion(Least-Squares Projection), den Hilbertraum(Hilbert Space), die Fourier-Reihe und -Transformation(Fourier Series and Transform), die Faltung(Convolution), die diskrete Kosinustransformation(Discrete Cosine Transform), die Wavelet-Analyse(Wavelet Analysis), den Selbstaufmerksamkeitsmechanismus(Self-Attention Mechanism), die Kernmethode(Kernel Method) und die Zustandsvektorprojektion(State-Vector Projection) in der Quantenmechanik ein. Es wird gezeigt, dass diese scheinbar unterschiedlichen Fachgebiete in ihrer mathematischen Struktur vereinheitlicht sind: Definition des Innenprodukts → Aufstellung einer Orthonormalbasis → Projektionszerlegung → Informationsextraktion. Ziel dieser Arbeit ist es, dem Leser eine kognitive Landkarte(Cognitive Map) zu bieten, die Mathematik, Ingenieurwissenschaften und Physik miteinander verbindet.